摘要：为了最大限度地减少单罐质量、提高材料利用率、降低生产成本。本文根据易拉罐实际测量的数据，按照数学建模问题的要求，分别给出正圆柱体易拉罐的最优设计和上部为圆台下部为圆柱时易拉罐的最优设计；然后，给出关于易拉罐形状和尺寸的的最优设计, 这个设计用料最省、外观精美和手握舒适。
关键词：目标函数 条件极值 易拉罐厚度 单罐重量
Optimal Design for the Shape and Size of Can?
Abstract: For the decreasing in the weight of a can and the increasing in the avail of material and the reducing in the cost of production, the optimal design for the shape and size of can is present in this paper. Firstly, the optimum design for the cylinder can is present by according to its measuring data and the demands of mathematical modeling. Secondly, the optimum design for the can of circular truncated top and columnar bottom is also present. Finally, the optimal design for the shape and size of can is proposed, and the superiorities of the proposed design in the avail of material and the handsome of form and the comfortable of handclasp are testified.
Keywords: Target function; Conditional extremum; Can thickness; Can weight
1 概述
如何在易拉罐生产中最大限度地减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。易拉罐的形状和尺寸为何值时，才能最大限度的节省材料？这是一个条件极值问题，也就是在满足易拉罐体积为355毫升的条件下，求易拉罐重量的最小值问题。由于易拉罐各部位承受的压力不同，所以不同部位的材料厚度也不同。本文就是按照下列要求给出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计：
（1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。
（2）设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
（3）设易拉罐的中心纵断面如右图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
（4）利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
?
２问题分析
易拉罐的形状和尺寸的最优设计是一个决策问题，需要综合考虑多方面的因素，首先是在容积不变的情况下，罐体材料尽量少。由于易拉罐内侧面和上下底面所受压力的不同，所以不同位置的厚度也不同。
问题一，我们取一个355毫升的可口可乐饮料罐，要想测量各部分的尺寸尽量精确，首先要了解易拉罐的生产过程，找出各部分尺寸的变化规律，再进行实际测量。
问题二，设易拉罐是一个正圆柱体，怎样设计能使用料最少？首先我们想到如果易拉罐的各壁厚度相同时，用料与罐子的表面积成正比，只要求得表面积最小时，半径与高之比，就能将问题解决。但实际测得各面的厚度并不相同，不过制罐材料的体积仍然是可求的，体积最小时的半径与高就是最省料的尺寸。
问题三，设易拉罐是一个正圆台与正圆柱体的组合，求在满足约束条件V=355ml 的前提下，以制罐用铝量最小为目标函数。
问题四，体积一定的几何形体中，球体的表面积最小。我们想到将这一性质运用到易拉罐的设计中去，但由于球体不方便运输和摆放，我们把上下底改为平面，而由于球体做成的罐子宽度较大不适合抓握，于是又想到将其拉伸，变成椭球体，就形成了类似古代的酒坛子形，我们将其称为“酒罐”。在本题中 “酒罐”的厚度与实测易拉罐一样（上下底的厚度为0.0275cm , 侧边的厚度0.011cm）。
问题五是根据我们建模的亲身经历，系统的分析了数学建模的一般步骤和心得体会。
３模型假设
（1）假设易拉罐的整个罐体用料全为铝，且密度为 。
（2）假设易拉罐的上底和下底的厚度相同。
（3）假设易拉罐的容积为355毫升。
（4）由于各种形状易拉罐的拉环所用材料量相同，所以我们在求制罐用料时，不计算拉环的重量。
（5）问题四中“酒罐”的厚度与实测易拉罐一样（“酒罐”的上下底的厚度为0.0275cm , 侧边的厚度为0.011cm）
４模型的建立和求解
4.1问题一：355毫升的可口可乐饮料罐的有关数据测量
4.1.1 易拉罐的制作过程：
易拉罐又称铝质易开盖两片罐，主要原料是铝质薄板，制作过程中需要两片铝板，成型主要有以下四道工序：冲杯、变薄拉伸、缩口/翻边、加盖。
4.1.2? 易拉罐的测量：
通过易拉罐的制作过程，我们知道上下底的圆台侧面是拉伸、缩口形成的，厚度并不均匀。为了建模的方便，我们将其简化，假定其厚度均匀，并在多个位置多次测量求平均值，得到以下的测量数据：
右图(图1)为：355毫升易拉罐中心纵断面图
表1：355毫升易拉罐的实测尺寸（单位：cm）
并得到以下结论：
1、易拉罐的侧面是规则的圆柱体，而罐底和罐盖的形状不规则。
2、上下底面的厚度相同。
3、下底面是一个向内凹的拱形，可以加大下底面的抗压性。
4、上部圆台的倾角大于下部圆台的倾角，因为下部圆台是由一整块的铝制薄板冲压得到，而上部的圆台在加盖时要与盖子咬合，倾角不能太小。
.2问题二：正圆柱体易拉罐的最优设计
4.2.1? 符号约定：
一个易拉罐的重量——圆柱的底面半径——圆柱的高度—— 易拉罐的体积
易拉罐圆柱侧面厚度——易拉罐上下底面厚度?
4.2.2 ?模型的建立与求解：
由于容积固定，可以用变量代换将变量减少，从而求出面积最小时的半径与高的关系。我们的重点问题就是研究在易拉罐的各部分厚度不同的前提下，易拉罐的高和直径之比为何值时能使得易拉罐的重量最小。
我们以实测的易拉罐的各面厚度为依据，即 = =0.0110cm,? = =0.0275cm。
4.2.2.1 ?易拉罐侧面厚度与上下底面厚度相同：
定理一：当制罐材料厚度相同时，易拉罐的高度与底面直径相等时，制造时所消耗的铝皮面积最小。
在本题中，V=355ml ，计算得到当r=3.8372cm ，h=7.6744cm 时用铝量最省。即直径和高相等时，单罐的耗铝量最小。
4.2.2.2 易拉罐侧面厚度与上下底面厚度不同（上下底厚度为0.0275cm ,侧面的厚度为0.011cm）：
准则一：易拉罐的造价与易拉罐的重量成正比
根据以上准则，我们得到易拉罐的重量 的目标函数为：
要求重量y的最小值，我们进行求导，使导数为零：
令 ，解得 ，
则 ，得到
定理二：正圆柱体形易拉罐，高与直径之比为底面厚度与侧面厚度之比时，用料最节省，价格最低。
当我们考虑到各面材料差异时，将问题一中的测量数据带入计算公式，侧面厚度 ，上下底面厚度 ，得到 ， 14.1364cm时易拉罐的重量最轻。实际测得的 ?， 。由于现实的易拉罐不是绝对的圆柱体，它的上下部还有一个圆台，所以实际值和理论值有所差别是可以接受的。这样就能解释为什么易拉罐的高与底面直径的比值在2左右了。
4.3问题三：易拉罐的纵断面上部为圆台，下部为圆柱时的最优设计
4.3.1 符号约定：
——单个易拉罐的重量 ——铝的密度
——圆台的体积 ——圆台的侧面积 ——圆台的斜高
——圆柱的侧面积 ——圆台的垂直高度 ——圆台的倾斜角
——圆台的上底面半径 ——圆柱的高度 ——圆柱的体积
右图(图2)
——圆柱的底面半径 ——易拉罐的体积
——圆柱侧面厚度 ——圆柱底面的厚度（圆台顶部的厚度
4.3.2模型的分析：
易拉灌的中心纵断面如图2所示，为了求解的方便，我们将其分割为一个正圆台和一个正圆柱分别求其体积和面积。
右图(图2)为：上部为圆台，下部为圆柱时的易拉罐
易拉罐的纵断面上部为正圆台，下部为正圆柱，它的形状是由,,, 四个变量决定的。我们要解决的问题就是如何确定这四个变量的值，使得易拉罐的重量y最小。
4.3.3模型的建立和求解:
我们要求一个饮料罐最省，就是要求易拉罐重量y最小，所以得到以下目标函数，并写出目标函数和约束条件：
由于公式比较复杂，并不能直接通过理论求解来确定这四个变量。我们采用了计算机编程搜索的方法来确定变量的值。为了编程容易实现，我们对变量的范围作了一些限制，其中 ，而 ， ， 的值我们给一个较大的范围，再用计算机编程搜索。
4.3.4 模型的结果
上式中有,,, 四个变量，我们将实测的已知数据代入以上目标函数，用MATLAB编程搜索得到容积为355毫升的饮料罐，使用材料最少时，各部分尺寸如下表：
表2：圆台加圆柱时的最优尺寸
将以上最优尺寸代入用料量的公式，得到最少用料为3.9065克。
我们将优化的尺寸与现实测量的尺寸相对比，列表如下：
表3： 假设的易拉罐与实测尺寸的对比
由上表的对比发现，模型的上底面半径、圆台的倾斜角与实际测量的尺寸相差甚远，其他的尺寸相差不大。造成这一结果的原因之一是易拉罐的净含量为355毫升，而易拉罐的实际容积大于355毫升。模型中圆台的倾斜角和上底面半径都很小，导致上底面只有针尖大小，显然是不能用于现实中的。这是由于上底面的厚度比圆台侧面厚度要大，增大圆台侧面的面积，就能减小上底面的面积，从而节省材料。但是现实生活中圆台的倾斜角过小，翻边、加盖的工序难以完成，并且上底面太小使用也不方便，所以此模型要想运用，还应该改进。
4.4 问题四：对易拉罐形状和尺寸的重新设计
4.4.1 符号约定：
——“酒罐”的体积 ——椭球上端的体积——“酒罐”侧面的面积
——椭球上半端体积与半径为r高 的圆柱体的体积之和——半径为r高 的圆柱体的体积
——“酒罐”的重量——铝的密度——椭球的表面积——“酒罐”上底面或下底面的面积
——“酒罐”侧面的厚度——“酒罐”上底面或下底面的厚度
4.4.2 模型的分析
查资料知道体积一定的几何形体中，球体的表面积最小。所以我们想到将球体的这一特性运用到易拉罐的设计中去，但由于球体不方便运输和摆放，我们把上下底改为平面，而由于罐体中间部位要适合人的手握，将球体拉长变细，我们想到使用椭球体，类似古代的酒坛子，我们将其称为“酒罐”。在本题中 “酒罐”的厚度与实测易拉罐一样（“酒罐”的上下底的厚度为0.0275cm , 侧边的厚度为0.011cm）
把椭圆曲线 绕Z轴旋转360度形成的椭球体方程为 ，再截去上下两个顶端就构成了我们要的“酒罐”。具体见图3
图3 “酒罐”的大致形状图
我们知道，易拉罐的造价与易拉罐的重量成正比，所以我们要确定a,c,r的值使易拉罐的重量最小。
4.4.3 模型的建立
通过分析知道，这是非线性规划问题，列出目标函数和约束方程：
通过程序计算我们看出当r=0 ，a=c=4.3924cm时目标函数y取最小， 克。在这里我们考虑到实用性，对罐顶半径做了一定的限制，对罐身的宽度也做了一定的规定，使得新设计的罐子材料省，符合人体力学的要求，大小适中，使用方便。
r，a，c的范围是我们根据实际情况给出大概的取值区间，再由计算机进行多次模拟缩小区间范围最终确定。
4.4.4 模型的求解:
通过计算机编程计算，我们认为下表中的三种尺寸是比较合适的。
表4：优化的酒罐形易拉罐
以上三种易拉罐的形状和尺寸是在各变量约束条件下，用计算机编程搜索得到，在综合考虑用料的节省，各种年龄的人手握的舒适性，开口的大小方便饮用，我们认为A型酒罐的设计最优。因为第一，A罐的宽度和高度比例适中，外型比较精巧，一般成人手握直径为4—7厘米的物体时比较轻松，A罐最粗的地方直径为6.52cm，手握在最粗处的下部时，可以更省力。第二，A罐开口半径为2cm，有足够的空间加盖、加拉环，也可制成全开盖（类似八宝粥）。第三，用料比其他的罐子都要节省。跟问题三中上部是正圆台下部是正圆柱的易拉罐的用料相比，节省了12.47%。
4.4.5 模型的改进：
在上面的模型中，我们设计的“酒罐”，已综合考虑了用料节省，外观精美和手握的舒适性。对于上面的模型，我们并没有考虑到罐内气体对罐壁的压力，根据实际经验，可以知道易拉罐由于受到过大的内部压力时罐底会鼓出，这样“酒罐”就不能放平，所以我们还要对底面进行拱形优化，就像拱桥可以增加抗压性的原理一样。“酒罐”在侧面的厚度其实应该不一样。由于侧面为底面分担了部分压力，上下底面的厚度可以适当减小，而当罐体上下面同时被挤压时，罐壁中间部分可能会爆裂，所以侧面最鼓的地方，壁厚应该最大，以保护罐体不会轻易变形。上面的模型中我们进行了简化，使侧面的厚度取同样的值。其次就是罐的上底面与罐壁的衔接处要加厚，以免被气压冲裂。这就是我们的模型需要改进的地方（见图7）。
图7新设计的“酒罐”中心纵断面
5 结束语
由于易拉灌的主要原料为铝质薄板，降低铝板的消耗是降低易拉罐生产成本的主要措施，而减薄铝板的厚度，降低单罐所耗用的铝板重量是降低易拉罐成本的重要技术手段。但是减小铝板厚度的同时，要利用形状的变化减小内部压强。
以上的模型中，易拉罐的形状和尺寸的优化设计外观精美：合理的利用易拉罐的外表面，使其拥有优美的画面，用明快的颜色和鲜明的个性，突出产品的商标，形象，加上合理的长、宽、高之比，精巧的造型，将直接刺激消费者的购买欲。
人体工学的要求：一般男性手掌长度范围在17.5~20cm之间，宽度在8~ 9cm之间；女性手掌长度范围16~18cm之间，宽度在6.5~ 8cm之间。易拉罐的尺寸与形状要适合各种人手的尺寸，线条要流畅适合抓握。
热胀冷缩的影响：易拉罐由于经常需要冷藏，所以在生产使用时，其形状和尺寸受热胀冷缩的影响应该尽量小。
加工的易度：首先易拉罐的形状应该尽量的简单，便于大批量的生产。其次，制造中焊接口的工作量明显大于一次性变薄拉伸成型，所以在设计时还应该使焊缝长度最短。
参考文献
[1] 叶凯编，易拉罐变薄拉伸成形分析[J]，模具制造，2004年第5期：19-22页。
[2] 阳明盛等编，MATLAB基础及数学软件[M]，大连：大连理工大学出版社，2003年。
[3] 同济大学数学教研室编，高等数学[M]，上海：高等教育出版社，1996年。
[4] 沈继红、施久玉等编 ，数学建模[M]，哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2005年。
[5] 蔡海涛等编，运筹学[M]，长沙：国防科技大学出版社，2003年。
（本文获“2006年全国大学生数学建模竞赛”C题江苏赛区二等奖）
作者简介：
指导教师：
宋跃武（1960-），男，安徽人，硕士，副教授，主要研究方向：函数逼近论。
梁军（1956-），男，江苏南京人，硕士，副教授，主要研究方向：数字通信和信号处理。
参赛学生：李大伟，何安娜，任婧康
李大伟，男，计算机科学与技术系03级本科生
何安娜，女，计算机科学与技术系04级本科生
任婧康，女，电子信息工程系03级本科生
